Wernicks Liste

Angenommen, wir haben ein beliebiges Dreieck ABC vorzuliegen. Wir konstruieren die Seitenhalbierenden AMa, BMb und CMc, die sich bekanntlich im Schwerpunkt G schneiden (s. Bild 1).


Bild 1.

Nun radieren wir fast alles in dieser Figur weg und lassen nur die Punkte A, B und Ma in ihrer Position übrig (s. Bild 2).

Bild 2.

Können wir daraus das Originaldreieck ABC wiederherstellen? In diesem Fall ist es ganz einfach, wir brauchen nur die Strecke BMa verdoppeln um den dritten Eckpunkt C zu finden.

William Wernick [1] stellte 1982 für diese Art von Dreieckskonstruktionen eine Liste auf, die aus der folgenden Menge von 16 charakteristischen Punkten im Dreieck jeweils drei auswählt:
A, B, C, O die drei Eckpunkte und der Umkreismittelpunkt (s. Bild 3)
Ma, Mb, Mc, G   die drei Seitenmitten und der Schwerpunkt (s. Bild 1)
Ha, Hb, Hc, H   die drei Höhenfußpunkte und der Höhenschnittpunkt (s. Bild 4)
Ta, Tb, Tc, I   die drei Schnittpunkte der (inneren) Winkelhalbierenden mit den jeweils gegenüberliegenden Seiten und der Inkreismittelpunkt (s. Bild 5).


    
Bild 3. Bild 4.
Bild 5.


Dies führt auf 139 derartige verschiedene Probleme, die in Tabelle 1 aufgelistet sind. Zum Beispiel würde die Auswahl zweier Eckpunkte und des Schwerpunkts die Tripel A, B, G oder B, C, G oder C, A, G ergeben, die aber offensichtlich nicht unterschiedlich sind. Einige Tripel sind redundant, d.h., einer der Punkte kann aus den anderen beiden bestimmt werden. So ist z.B. das Tripel A, B, Mc redundant, da Mc der Mittelpunkt der Strecke AB ist. Solche redundanten Tripel sind in Tabelle 1 mit einem R gekennzeichnet; es gibt nur drei davon.

Einige nichtredundante Tripel haben die Eigenschaft, dass die drei Punkte untereinander bestimmte Voraussetzungen erfüllen müssen. Das Tripel A, B, O ist z.B. ein solches, da der Umkreismittelpunkt O stets auf der Mittelsenkrechten von AB liegen muss. Wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, dann kann der dritte Eckpunkt C irgendwo auf dem Umkreis mit Mittelpunkt O und Radius OA liegen. Wenn dagegen O nicht auf der Mittelsenkrechten von AB liegt, gibt es selbstverständlich keine Lösung des Problems. Die Ortsabhängigkeit liefert hier entweder unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung. 23 derartige Tripel gibt es; sie sind mit einem L gekennzeichnet.

Leroy F. Meyers [2] veröffentlichte 1996 eine Überarbeitung dieser Liste, in der er einige der Tripel als unlösbar im Sinne einer Euklidischen Konstruktion identifizierte; diese sind mit einem U versehen. Außerdem konnte er 8 neue Lösungen finden, die in Wernicks Liste noch offen waren. Somit gibt es derzeit 72 gelöste Probleme und noch 20, für die nicht klar ist, ob sie lösbar oder unlösbar sind.

Die nachfolgende Tabelle 1 listet alle 139 Probleme auf. Für die meisten der bereits gelösten Probleme habe ich eine kurze Konstruktionsbeschreibung zusammen mit einem Bild angefertigt, die man sehen kann, wenn man auf das entsprechende Tripel klickt. Betrachten Sie also diese Aufgaben durchaus als Herausforderung, sich mal wieder mit Elementargeometrie zu beschäftigen. Einige der Aufgaben sind ganz einfach, andere ziemlich knifflig, da sie Spezialwissen erfordern. Es ist geplant, die zugrundeliegenden Sätze der Dreiecksgeometrie hier zusätzlich zu erläutern.

In den vorhandenen Lösungen werden einige Punkte im Dreieck, die häufig als nützliche Hilfspunkte Verwendung finden, wie folgt bezeichnet:
Fa, Fb, Fc   die drei weiteren Schnittpunkte der Höhen mit dem Umkreis (s. Bild 6)
Ua, Ub, Uc   die drei weiteren Schnittpunkte der (inneren) Winkelhalbierenden mit dem Umkreis (s. Bild 7)
Ia, Ib, Ic   die drei Ankreismittelpunkte (s. Bild 8).


    
Bild 6. Bild 7.
Bild 8.


Tabelle 1. Neuerungen seit Wernick's Erstveröffentlichung [1] sind in nachfolgender Tabelle mit Referenzen auf die Literatur/Internetseiten gekennzeichnet

1.  A, B, O   L 36.  A, Mb, Tc   S 71.  O, G, H   R 106.  Ma, Hb, Tc   U[2]
2.  A, B, Ma   S 37.  A, Mb, I   S 72.  O, G, Ta   U[2] 107.  Ma, Hb, I   U[2]
3.  A, B, Mc   R 38.  A, G, Ha   L 73.  O, G, I   U[2] 108.  Ma, H, Ta   S[20]
4.  A, B, G   S 39.  A, G, Hb   S 74.  O, Ha, Hb   U[2] 109.  Ma, H, Tb   U[8]
5.  A, B, Ha   L 40.  A, G, H   S 75.  O, Ha, H   S 110.  Ma, H, I   U[8]
6.  A, B, Hc   L 41.  A, G, Ta   S 76.  O, Ha, Ta   S 111.  Ma, Ta, Tb   U[8]
7.  A, B, H   S 42.  A, G, Tb   U[2] 77.  O, Ha, Tb   U[20] 112.  Ma, Ta, I   S
8.  A, B, Ta   S 43.  A, G, I   S 78.  O, Ha, I   U[20] 113.  Ma, Tb, Tc   U[20]
9.  A, B, Tc   L 44.  A, Ha, Hb   S 79.  O, H, Ta   U[2] 114.  Ma, Tb, I   U[2]
10.  A, B, I   S 45.  A, Ha, H   L 80.  O, H, I   U[2] 115.  G, Ha, Hb   U[2]
11.  A, O, Ma   S 46.  A, Ha, Ta   L 81.  O, Ta, Tb   U[20] 116.  G, Ha, H   S
12.  A, O, Mb   L 47.  A, Ha, Tb   S 82.  O, Ta, I   S[2] 117.  G, Ha, Ta   S
13.  A, O, G   S 48.  A, Ha, I   S 83.  Ma, Mb, Mc   S 118.  G, Ha, Tb   U[20]
14.  A, O, Ha   S 49.  A, Hb, Hc   S 84.  Ma, Mb, G   S 119.  G, Ha, I   S[20]
15.  A, O, Hb   S 50.  A, Hb, H   L 85.  Ma, Mb, Ha   S 120.  G, H, Ta   U[2]
16.  A, O, H   S 51.  A, Hb, Ta   S 86.  Ma, Mb, Hc   S 121.  G, H, I   U[2]
17.  A, O, Ta   S 52.  A, Hb, Tb   L 87.  Ma, Mb, H   S[2] 122.  G, Ta, Tb   U[20]
18.  A, O, Tb   S 53.  A, Hb, Tc   S 88.  Ma, Mb, Ta   U[2] 123.  G, Ta, I   U[20]
19.  A, O, I   S 54.  A, Hb, I   S 89.  Ma, Mb, Tc   U[2] 124.  Ha, Hb, Hc   S
20.  A, Ma, Mb   S 55.  A, H, Ta   S 90.  Ma, Mb, I   U[8] 125.  Ha, Hb, H   S
21.  A, Ma, G   R 56.  A, H, Tb   U[2] 91.  Ma, G, Ha   L 126.  Ha, Hb, Ta   S
22.  A, Ma, Ha   L 57.  A, H, I   S[2] 92.  Ma, G, Hb   S 127.  Ha, Hb, Tc   U[20]
23.  A, Ma, Hb   S 58.  A, Ta, Tb   S[2] 93.  Ma, G, H   S 128.  Ha, Hb, I   U[20]
24.  A, Ma, H   S 59.  A, Ta, I   L 94.  Ma, G, Ta   S 129.  Ha, H, Ta   L
25.  A, Ma, Ta   S 60.  A, Tb, Tc   S 95.  Ma, G, Tb   U[2] 130.  Ha, H, Tb   U[2]
26.  A, Ma, Tb   U[2] 61.  A, Tb, I   S 96.  Ma, G, I   S[2] 131.  Ha, H, I   S[2]
27.  A, Ma, I   S 62.  O, Ma, Mb   S 97.  Ma, Ha, Hb   S 132.  Ha, Ta, Tb   U[20]
28.  A, Mb, Mc   S 63.  O, Ma, G   S 98.  Ma, Ha, H   L 133.  Ha, Ta, I   S
29.  A, Mb, G   S 64.  O, Ma, Ha   L 99.  Ma, Ha, Ta   L 134.  Ha, Tb, Tc   U[20]
30.  A, Mb, Ha   L 65.  O, Ma, Hb   S 100.  Ma, Ha, Tb   U[2] 135.  Ha, Tb, I   U[20]
31.  A, Mb, Hb   L 66.  O, Ma, H   S 101.  Ma, Ha, I   S 136.  H, Ta, Tb   U[20]
32.  A, Mb, Hc   L 67.  O, Ma, Ta   L 102.  Ma, Hb, Hc   L 137.  H, Ta, I   U[20]
33.  A, Mb, H   S 68.  O, Ma, Tb   U[2] 103.  Ma, Hb, H   S 138.  Ta, Tb, Tc   U[5,9]
34.  A, Mb, Ta   S 69.  O, Ma, I   S 104.  Ma, Hb, Ta   S 139.  Ta, Tb, I   S
35.  A, Mb, Tb   L 70.  O, G, Ha   S 105.  Ma, Hb, Tb   S


Manche Probleme sind zueinander ähnlich in dem Sinne, dass, wenn man eines gelöst hat, die Lösungen der anderen sofort auf der Hand liegen. Die Probleme 26 (A, Ma, Tb), 42 (A, G, Tb) und 95 (Ma, G, Tb) sind z.B. solche, da von den insgesamt neun Punkten jeweils ein Punkt (hier Tb) in allen dreien vorkommt und die anderen sechs Punkte – hier A, Ma, G – einzig aus einem redundanten Tripel (Problem 21) stammen.

Neuigkeiten

31. Juli 2009    Erstveröffentlichung dieser Seite, Anregungen und Kommentare sind willkommen.
1. August 2009    Diskussionsforum zu diesem Thema auf Matroids Matheplanet.
2. August 2009    Nr. 90, 109, 110 und 111 von owk als unlösbar bewiesen, siehe Diskussionsforum.
3. August 2009    Nr. 58 eingefügt (nach [4]).
29. März 2015   Neuorganisation und Update der Seite.

Literatur

[1]   William Wernick, "Triangle Constructions with Three Located Points", Mathematics Magazine 55, no. 4, September 1982, S. 227–230.
[2]   Leroy F. Meyers, "Update on William Wernick's 'Triangle Constructions with Three Located Points'", Mathematics Magazine 69, no. 1, Februar 1996, S. 46–49.
[3]   Eric Danneels, "A Simple Construction of a Triangle from its Centroid, Incenter, and a Vertex", Forum Geometricorum 5 (2005), S. 53–56.
[4]   Harold Connelly, Nikolaos Derglades, and Jean-Pierre Ehrmann, "Construction of Triangle from a Vertex and the Feet of Two Angle Bisectors", Forum Geometricorum 7 (2007), S. 103–106.
[5]   Paul Yiu, "Conic solution of a triangle from the feet of its angle bisectors", Journal for Geometry and Graphics 12 (2008), 171–182.
[6]   Harold Connelly, "An Extension of Triangle Constructions from Located Points", Forum Geometricorum 9 (2009), S. 109–112.
[7]   Harold Connelly, Beata Randrianantoanina, "An Angle Bisector Parallel Applied to Triangle Construction", Forum Geometricorum 9 (2009), S. 161–163.
[8]   owk, Diskussionsforum auf Matroids Matheplanet, August 2009.
[9]   Alexey V. Ustinov, "On the construction of a triangle from the feet of its angle bisectors", Forum Geometricorum 9 (2009), S. 279–280.
[20]   Pascal Schreck, Pascal Mathis, "RC-constructibility of problems in Wernick's list", Proc. ADG 2014, 9–11 July 2014, University of Coimbra, Portugal.

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